设随机变量X与Y相互独立，且都在[0，1]上服从均匀分布，试求：
(I)U=XY的概率密度f
U
(u)；
(Ⅱ)V=|X—Y|的概率密度f
V
(v)．
【正确答案】正确答案：根据X与Y相互独立且密度函数已知，因此可以用两种方法：分布函数法和公式法求出U、V的概率密度． (I)分布函数法．根据题设知(X，Y)联合概率密度
所以U=XY的分布函数为(如图3—7所示)
(1)当u≤0时，F
U
(u)=0；当u≥1时，F
U
(u)=1； (2)当0＜u＜1时，
(Ⅱ)公式法．设Z=X—Y=X+(一Y)．其中X与(一Y)独立，概率密度分别为
根据卷积公式得Z的概率密度 f
Z
(z)=∫
-∞
+∞
f
X
(z—y)f
-Y
(y)dy=∫
-1
0
f
X
(z—y)dy
V=|X—Y|=|Z|的分布函数为F
V
(v)=P{|Z|≤v|，可得 当v≤0时，F
V
(v)=0；当v＞0时，F
V
(v)=P{一v≤Z≤v}=∫
-v
v
f
Z
(z)dz； 由此知，当0＜v＜1时， F
V
(v)=∫
-v
0
(z+1)dz+∫
0
v
(1一z)dz=2v-v
2
； 当v≥1时， F
V
(v)=∫
-v
-1
0dz+∫
-1
0
(z+1)dz+∫
0
1
(1一z)dz+∫
1
v
0dz=1． 综上可得
所以U=XY的分布函数为(如图3—7所示)
(1)当u≤0时，F
U
(u)=0；当u≥1时，F
U
(u)=1； (2)当0＜u＜1时，
(Ⅱ)公式法．设Z=X—Y=X+(一Y)．其中X与(一Y)独立，概率密度分别为
根据卷积公式得Z的概率密度 f
Z
(z)=∫
-∞
+∞
f
X
(z—y)f
-Y
(y)dy=∫
-1
0
f
X
(z—y)dy
V=|X—Y|=|Z|的分布函数为F
V
(v)=P{|Z|≤v|，可得 当v≤0时，F
V
(v)=0；当v＞0时，F
V
(v)=P{一v≤Z≤v}=∫
-v
v
f
Z
(z)dz； 由此知，当0＜v＜1时， F
V
(v)=∫
-v
0
(z+1)dz+∫
0
v
(1一z)dz=2v-v
2
； 当v≥1时， F
V
(v)=∫
-v
-1
0dz+∫
-1
0
(z+1)dz+∫
0
1
(1一z)dz+∫
1
v
0dz=1． 综上可得
【答案解析】