【正确答案】记[*]，由于
[*]
又2αα^T+ββ^T为对称矩阵，所以二次型，的矩阵为2αα^T+ββ^T．

【正确答案】记矩阵A=2αα^T+ββ^T．由于α，β正交且为单位向量，即α^Tα=1，β^Tβ=1，α^Tβ=β^Tα=0，所以
Aα=(2αα^T+ββ^T)α=2α，
Aβ=(2αα^T+ββ^T)β=β，
于是λ₁=2，λ₂=1是矩阵A的特征值．又
r(A)=r(2αα^T+ββ^T)≤r(2αα^T)+r(ββ^T)≤2，
所以λ₃=0是矩阵A的特征值．由于f在正交变换下的标准形中各变量平方项的系数为A的特征值，故f在正交变换下的标准形为[*]．

【答案解析】本题综合考查向量的内积和正交等概念、二次型的矩阵和在正交变换下的标准形等概念、特征值与特征向量的概念、矩阵的秩的有关性质．本题证明中多次用到了向量内积的可交换性(对称性)，例如(Ⅰ)中a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃既可写成(x₁，x₂，x₃)[*]，也可写成a₁，a₂，a₃[*]，即x^T=中a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃既可写成(x₁，x₂，x₃)[*]，也可写成a₁，a₂，a₃[*]，即x^Tα=α^Tx，从而得(a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃)²=x^Tαα^Tx=x^T(αα^T)x．本题(Ⅱ)中利用3阶矩阵A的秩小于3从而得到A有特征值0的方法较为简单，另一种方法是：注意也可以将A的行列式写成｜A｜=｜2a₁α+b₁β 2a₂α+b₂β 2a₃α+b₃β｜，然后利用行列式关于列的可加性，可将A的行列式表成8个行列式之和，但没有必要具体写出，因为其中每一个行列式至少有两列成比例，从而都等于0，于是得A的行列式为零．由此也可得到λ₃=0是矩阵A的特征值．

【正确答案】[*]；λ₁=λ₂=-1，λ₃=5；双叶双曲面．