某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层。汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功。设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为k，k＞0)。汽锤第一次击打将桩打进地下a m。根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所做的功与前一次击打时所做的功之比为常数r(0＜r＜1)。问 (Ⅰ)汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深? (Ⅱ)若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深? (注：m表示长度单位米)
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)设第n次击打后，桩被打进地下x
n
，第n次击打时，汽锤所做的功为W
n
(n=1，2，3，…)。由题设，当桩被打进地下的深度为x时，土层对桩的阻力的大小为kx，所以
由W
2
=rW
1
可得 x
2
2
一a
2
=ra
2
， 即有 x
2
2
=(1+r)a
2
， 又 W
3
=
[x
3
2
一(1+r)a
2
]。 由W
3
=rW
2
=r
2
W
1
可得 x
3
2
一(1+r)a
2
=r
2
a
2
， 从而 x
3
=
， 即汽锤击打3次后，可将桩打进地下
。 (Ⅱ)由归纳法，设x
n
=
，则 W
n+1
=
[x
n+1
2
一(1+r+…+r
n—1
)a
2
]。 由于W
n+1
=rW
n
=r
2
W
n—1
一1=…=r
n
W
1
，故得 x
n+1
2
一(1+r+…+r
n—1
)a=r
n
a
2
， 从而
即若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下
由W
2
=rW
1
可得 x
2
2
一a
2
=ra
2
， 即有 x
2
2
=(1+r)a
2
， 又 W
3
=
[x
3
2
一(1+r)a
2
]。 由W
3
=rW
2
=r
2
W
1
可得 x
3
2
一(1+r)a
2
=r
2
a
2
， 从而 x
3
=
， 即汽锤击打3次后，可将桩打进地下
。 (Ⅱ)由归纳法，设x
n
=
，则 W
n+1
=
[x
n+1
2
一(1+r+…+r
n—1
)a
2
]。 由于W
n+1
=rW
n
=r
2
W
n—1
一1=…=r
n
W
1
，故得 x
n+1
2
一(1+r+…+r
n—1
)a=r
n
a
2
， 从而
即若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下
【答案解析】