问答题
设n阶矩阵A满足A
2
=A，其中E为n阶单位矩阵，
证明R(A)+R(A-E)≤n
【正确答案】
证： 因为A
2
-A=0，则A(A-E)=0，设A-E=B，则AB=0，把B按列分块
为B=(b
1
,b
2
,…,b
n
)，则
AB=(Ab
1
,Ab
2
,…,Ab
n
)=0
即Ab
j
=0(j=1,2,…,n)，所以月的列向量b
j
(j=1,2,…,n)都是AX= 0的解向量．由于AX=0的基础解系含n-R(A)个线性无关的解向量，而b
1
, b
2
,…,b
n
可由AX=0的基础解系线性表示，即R(B)≤n-R(A)，故R(B) +R(A)=n．
即 R(A)+R(A-E)≤n
【答案解析】
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