解答题
20.设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n矩阵，BT为B的转置矩阵．试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是秩（B）=n．
【正确答案】必要性．
用齐次方程组只有零解证之．因BTAB正定，由定义知，对任意X≠0，XT(BTAB)X=(BX)TA(BX)＞0，故必有BX≠0，即BX=0只有零解，亦即秩（B）=n．
充分性．
用正定的定义证之．因(BTAB)T=BTATB=BTAB，故BTAB为对称矩阵(正定矩阵必是实对称矩阵，所以充分性首先必证明这一点)．
由秩（B）=n知，齐次线性方程组BX=0只有零解，于是对任意X0≠0，恒有BX0≠0，又因A是正定矩阵，所以对BX0≠0，必有(BX0)TA(BX0)＞0．即对任意X0≠0，恒有X0T(BTAB)X0＞0，故BTAB是正定矩阵．
【答案解析】