【正确答案】[详解1] (用反证法)若不存在ξ∈(a，b)使f(ξ)=0，则在区间[a，b]内恒有f(x)＞0或f(x)＜0．不妨设f(x)＞0(对f(x)＜0，类似可证)，则
[*]
从而f'(a)f'(b))≤0，这与已知条件矛盾，即在(a，b)内至少存在一点ξ，使f(ξ)=0．再由f(a)=f(ξ)=f(b)及罗尔定理，知存在η₁∈(a，ξ)和η₂∈(ξ，b)，使
f'(η₁)=f'(η₂)=0．
又在区间[η₁，η₂]上，对f'(x)应用罗尔定理，知存在η∈(η₁，η₂)[*](a，b)，使f"(η)=0．
[详解2] 不妨设f'(a)＞0，f'(b)＞0(对f'(a)＜0，f'(b))＜0时类似可证)，即
[*]
由极限的保号性，知存在x₁∈(a，a+δ₁)和x₂∈(b-δ₂,b)，使f(x₁)＞0及f(x₂)＜0，其中δ₁，δ₂为充分小的正数．显然x₁＜x₂，在区间[x₁，x₂]上应用中值定理，存在ξ∈x₁，x₂[*](a，b))，使f(ξ)=0．
以下证明类似详解1．

【答案解析】[考点提示] 本题关键是证明存在ξ∈(a，b)，使f(ξ)=0，因为再由f(a)=f(b)=0，根据罗尔定理．易证存在ξ∈(a，b)，使f"(η)=0．而证明f(ξ)=0可用反证法或连续函数的中值定理．
[评注] 要证明存在一点ξ，使f"(ξ)=0，要么证明f(x)在三个不同点上相等，要么证明f'(x)有两个不同的零点．