解答题
已知A是m×n矩阵，m＜n．证明：AA
T
是对称阵，并且AA
T
正定的充要条件是r(A)=m．
【正确答案】
【答案解析】
【证】由(AA
T
)
T
=(A
T
)
T
A
T
=AA
T
，所以AA
T
是对称阵．
必要性 若AA
T
正定，r(AA
T
)=m≤r(A)，又r(A
m×n
)≤m，故r(A)=m．
充分性 若r(A)=m，则齐次方程组A
T
X=0只有零解，故对任意X≠0，均有A
T
X≠0，故
X
T
AA
T
X=(A
T
X)
T
(A
T
X)＞0，
即AA
T
正定．
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