问答题
设α
1
，α
2
，α
3
是齐次方程组Ax=0的一个基础解系，
β 1 =2α 1 +α 2 ，β 2 =2α 2 +α 3 ，β 3 =2α 3 +α 1 ，
证明：β 1 ，β 2 ，β 3 也是Ax=0的一个基础解系．
β 1 =2α 1 +α 2 ，β 2 =2α 2 +α 3 ，β 3 =2α 3 +α 1 ，
证明：β 1 ，β 2 ，β 3 也是Ax=0的一个基础解系．
【正确答案】
【答案解析】[证明] 首先，Aβ
1
=A(2α
1
+α
2
)=2Aα
1
+Aα
2
=0，故β
1
是Ax=0的解．
同理，β 2 ，β 3 也是Ax=0的解．以下证β 1 ，β 2 ，β 3 线性无关．
设k 1 β 1 +k 2 β 2 +k 3 β 3 =0，得：
(2k 1 +k 3 )α 1 +(k 1 +2k 2 )α 2 +(k 2 +2k 3 )α 3 =0．
由α 1 ，α 2 ，α 3 线性无关，知
同理，β 2 ，β 3 也是Ax=0的解．以下证β 1 ，β 2 ，β 3 线性无关．
设k 1 β 1 +k 2 β 2 +k 3 β 3 =0，得：
(2k 1 +k 3 )α 1 +(k 1 +2k 2 )α 2 +(k 2 +2k 3 )α 3 =0．
由α 1 ，α 2 ，α 3 线性无关，知