问答题
(本题满分10分)
设1≤a＜b，函数f(x)=xln 2 x，求证：f(x)满足不等式
(Ⅰ)0＜f"(x)＜2(x＞1)；
(Ⅱ)
设1≤a＜b，函数f(x)=xln 2 x，求证：f(x)满足不等式
(Ⅰ)0＜f"(x)＜2(x＞1)；
(Ⅱ)
【正确答案】
【答案解析】对函数f(x)求导，得
f"(x)在[1，+∞)单调下降
f"(x)＜f"(1)=2(x＞1)
(2)用x代替b，设辅助函数为
与
其中1≤a＜x≤b。对F(x)求导并利用中值定理得
x＞a≥1时F(x)单调增加
F(x)＞F(a)=0(x＞a≥1)
F(b)＞0，即
对G(x)求导并利用中值定理得
其中
当时1≤a＜x，f"(x)＜2，于是
即G(x)单调上升，G(x)＞G(a)=0，G(b)＞0，即
f"(x)在[1，+∞)单调下降
f"(x)＜f"(1)=2(x＞1)
(2)用x代替b，设辅助函数为
与
其中1≤a＜x≤b。对F(x)求导并利用中值定理得
x＞a≥1时F(x)单调增加
F(x)＞F(a)=0(x＞a≥1)
F(b)＞0，即
对G(x)求导并利用中值定理得
其中
当时1≤a＜x，f"(x)＜2，于是
即G(x)单调上升，G(x)＞G(a)=0，G(b)＞0，即