问答题
汽车加油站共有两个加油窗口，现有三辆车A，B，C同时进入该加油站，假设A、B首先开始加油，当其中一辆车加油结束后立即开始第三辆车C加油．假设各辆车加油所需时间是相互独立且都服从参数为λ的指数分布．(I)求第三辆车C在加油站等待加油时间T的概率密度；(Ⅱ)求第三辆车C在加油站度过时间S的概率密度．
【正确答案】正确答案：首先我们需要求出T、S与各辆车加油时间X
i
(i=1，2，3)之间的关系．假设第i辆车加油时间为X
i
=1，2，3)，则X
i
独立同分布，且概率密度都为
依题意，第三辆车C在加油站等待加油时间T=min(X
1
，X
2
)，度过时间=等待时间+加油时间，即 S=T+X
3
=min(X
1
，X
2
)+X
3
． (I)由于T=min(X
1
，X
2
)，其中X
1
与X
2
独立，所以T的分布函数 F
T
(t)=P{min(X
1
，X
2
)≤t}=1—P{min(X
1
，X
2
)＞t}=1—P{X
1
＞t}P{X
2
＞t}
T的密度函数f
T
(t)=
即T=min(X
1
，X
2
)服从参数为2λ的指数分布． (Ⅱ)S=T+X
3
=min(X
1
,X
2
)+X
3
，T与X
3
独立且已知其概率密度，由卷积公式求得S的概率密度为 f
S
(s)=∫
-∞
+∞
f
T
(t)f
3
(s一t)dt=∫
0
+∞
2λe
-2λt
f
3
(s一t)dt
∫
s
-∞
2λe
-2λ(s-x)
f
3
(x)d(一x) =∫
-∞
s
2λe
-2λs
.e
2λs
f
3
(x)dx
依题意，第三辆车C在加油站等待加油时间T=min(X
1
，X
2
)，度过时间=等待时间+加油时间，即 S=T+X
3
=min(X
1
，X
2
)+X
3
． (I)由于T=min(X
1
，X
2
)，其中X
1
与X
2
独立，所以T的分布函数 F
T
(t)=P{min(X
1
，X
2
)≤t}=1—P{min(X
1
，X
2
)＞t}=1—P{X
1
＞t}P{X
2
＞t}
T的密度函数f
T
(t)=
即T=min(X
1
，X
2
)服从参数为2λ的指数分布． (Ⅱ)S=T+X
3
=min(X
1
,X
2
)+X
3
，T与X
3
独立且已知其概率密度，由卷积公式求得S的概率密度为 f
S
(s)=∫
-∞
+∞
f
T
(t)f
3
(s一t)dt=∫
0
+∞
2λe
-2λt
f
3
(s一t)dt
∫
s
-∞
2λe
-2λ(s-x)
f
3
(x)d(一x) =∫
-∞
s
2λe
-2λs
.e
2λs
f
3
(x)dx
【答案解析】