解答题
17.设二次型f(x1，x2，x3)﹦x12﹢x22﹢x32－2x1x2－2x1x3﹢2ax2x3通过正交变换化为标准形f﹦2y12﹢2y22﹢by32。
(I)求常数a，b及所用的正交变换矩阵Q；
(Ⅱ)求f在xTx﹦3下的最大值。
(I)求常数a，b及所用的正交变换矩阵Q；
(Ⅱ)求f在xTx﹦3下的最大值。
【正确答案】(I)由题意得，二次型矩阵及其对应的标准形矩阵分别为
由矩阵B可知，矩阵A的特征值为2，2，b。矩阵A的迹tr(A)﹦3﹦2﹢2﹢6，所以b﹦－1。
由于2是矩阵A的二重特征值，而实对称矩阵A必可相似对角化，所以矩阵A的对应于特征值2的线性无关的特征向量有2个。于是矩阵A－2E的秩为1，而
所以a﹦－1。
由(A－λE)x﹦0得，特征值为λ1﹦λ2﹦2，λ3﹦－1，对应的特征向量分别为
α1﹦(1，0，－1)T，α2﹦(0，1，－1)T，α3﹦(1，1，1)T，
由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交，所以只需将α1，α2正交化得
再将β1，β2，α3单位化得
则正交变换矩阵为
由矩阵B可知，矩阵A的特征值为2，2，b。矩阵A的迹tr(A)﹦3﹦2﹢2﹢6，所以b﹦－1。
由于2是矩阵A的二重特征值，而实对称矩阵A必可相似对角化，所以矩阵A的对应于特征值2的线性无关的特征向量有2个。于是矩阵A－2E的秩为1，而
所以a﹦－1。
由(A－λE)x﹦0得，特征值为λ1﹦λ2﹦2，λ3﹦－1，对应的特征向量分别为
α1﹦(1，0，－1)T，α2﹦(0，1，－1)T，α3﹦(1，1，1)T，
由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交，所以只需将α1，α2正交化得
再将β1，β2，α3单位化得
则正交变换矩阵为
【答案解析】