选择题
1.下述命题
①设f(x)在任意的闭区间[a，b]上连续．则f(x)在(一∞,+∞)上连续．
②设f(x)在任意的闭区间[a，b]上有界，则f(x)在(一∞，+∞)上有界．
③设f(x)在(一∞，+∞)上为正值的连续函数，则
在(一∞，+∞)上也是正值的连续函数．
④设f(x)在(一∞，+∞)上为正值的有界函数，则
①设f(x)在任意的闭区间[a，b]上连续．则f(x)在(一∞,+∞)上连续．
②设f(x)在任意的闭区间[a，b]上有界，则f(x)在(一∞，+∞)上有界．
③设f(x)在(一∞，+∞)上为正值的连续函数，则
在(一∞，+∞)上也是正值的连续函数．④设f(x)在(一∞，+∞)上为正值的有界函数，则
【正确答案】
B
【答案解析】①与③是正确的，②与④是不正确的，理由如下：
①是正确的．设x0∈(一∞，+∞)，则它必含于某区间[a,b]中，由于题设f(x)在任意闭区间(a，b]上连续，故在x0处连续。所以在(一∞，+∞)上连续．论证的关键之处是：函数f(x)的连续性是按点来讨论的，在区间上每一点处连续，就说它在该区间上连续．
③是正确的．设x0∈(一∞，+∞)，所以f(x0)＞0，且在x0处连续．由连续函数的四则运算知
在x0处也连续，所以
上连续．
②是不正确的．反例：设f(x)=x，在区间[a,b]上
这个界与[a，b]有关，容易看出，在区间(一∞，+∞)上，f(x)=x就无界了．
④是不正确的．反例：f(x)=e-y2，在区间(一∞，+∞)上0＜f(x)≤1，所以f(x)在(一∞，+∞)上有界，而
在(一∞，+∞)上无界。这是因为当x→±∞时
①是正确的．设x0∈(一∞，+∞)，则它必含于某区间[a,b]中，由于题设f(x)在任意闭区间(a，b]上连续，故在x0处连续。所以在(一∞，+∞)上连续．论证的关键之处是：函数f(x)的连续性是按点来讨论的，在区间上每一点处连续，就说它在该区间上连续．
③是正确的．设x0∈(一∞，+∞)，所以f(x0)＞0，且在x0处连续．由连续函数的四则运算知
在x0处也连续，所以上连续．②是不正确的．反例：设f(x)=x，在区间[a,b]上
这个界与[a，b]有关，容易看出，在区间(一∞，+∞)上，f(x)=x就无界了．④是不正确的．反例：f(x)=e-y2，在区间(一∞，+∞)上0＜f(x)≤1，所以f(x)在(一∞，+∞)上有界，而
在(一∞，+∞)上无界。这是因为当x→±∞时