问答题
对一般的n元实二次型f=x
T
Ax，其中x=(x
1
，x
2
，…，x
n
)
T
，证明：f在条件
【正确答案】
【答案解析】[解] 对于实二次型f=x
T
Ax，存在正交变换x=Qy，使得：
f=λ 1 y 1 2 +λ 2 y 2 2 +…+λ n y n 2 ．
其中，λ 1 ，λ 2 ，…，λ n 为A的全部特征值．不妨假定：λ 1 ≤λ 2 ≤…≤λ n
则λ 1 x T x=λ 1 y T Q T Qy=λ 1 y T y，
λ 2 x T x=λ 2 y T Q T Qy=λ 2 y T y，
依此类推：
λ n x T x=λ n y T Q T Qy=λ n y T y，
于是，
又λ 1 y T y=λ 1 y 1 2 +λ 1 y 2 2 +…+λ 1 y n 2 ，
λ n y T y=λ n y 1 2 +λ n y 2 2 +…+λ n y n 2 ，
且λ 1 ≤λ 2 ≤…≤λ n ．
所以λ 1 y T y≤x T Ax=λ 1 y 1 2 +λ 2 y 2 2 +…+λ n 2 y n 2 ≤λ n y T y，
所以λ 1 x T x≤x T Ax≤λ n x T x．
当
，即当x
T
x=1时，λ
1
≤x
T
Ax≤λ
n
由λ n x T x=λ n y T Q T Qy=λ n y T y知，当y T y=1时，x T x=1．取y=(0，0，…，1) T 时，相应的x有x T Ax=λ 1 y 1 2 +λ 2 y 2 2 +…+λ n y n 2 =λ n ．
所以f在条件
f=λ 1 y 1 2 +λ 2 y 2 2 +…+λ n y n 2 ．
其中，λ 1 ，λ 2 ，…，λ n 为A的全部特征值．不妨假定：λ 1 ≤λ 2 ≤…≤λ n
则λ 1 x T x=λ 1 y T Q T Qy=λ 1 y T y，
λ 2 x T x=λ 2 y T Q T Qy=λ 2 y T y，
依此类推：
λ n x T x=λ n y T Q T Qy=λ n y T y，
于是，
又λ 1 y T y=λ 1 y 1 2 +λ 1 y 2 2 +…+λ 1 y n 2 ，
λ n y T y=λ n y 1 2 +λ n y 2 2 +…+λ n y n 2 ，
且λ 1 ≤λ 2 ≤…≤λ n ．
所以λ 1 y T y≤x T Ax=λ 1 y 1 2 +λ 2 y 2 2 +…+λ n 2 y n 2 ≤λ n y T y，
所以λ 1 x T x≤x T Ax≤λ n x T x．
当
，即当x
T
x=1时，λ
1
≤x
T
Ax≤λ
n
由λ n x T x=λ n y T Q T Qy=λ n y T y知，当y T y=1时，x T x=1．取y=(0，0，…，1) T 时，相应的x有x T Ax=λ 1 y 1 2 +λ 2 y 2 2 +…+λ n y n 2 =λ n ．
所以f在条件