讨论曲线y=41nx+k与y=4x+ln
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x的交点个数。
【正确答案】正确答案：曲线y=4lnx+k与y=4x+ln
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x的交点个数等价于方程φ(x)=ln
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x一4lnx+4x一k在区间(0，+∞)内的零点个数。对以上方程两端求导得
可知x=1是φ(x)的驻点。当0＜x＜1时，ln
3
x＜0，则ln
3
x一1+x＜0，而
，因此φ"(x)＜0，即φ(x)单调减少；当x＞1时，ln
3
x＞0，则ln
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x－1+x＞0,，且
，因此φ"(x)＞0，即φ(x)单调增加。故φ(1)=4一k为函数φ(x)的唯一极小值，即最小值。 ①当φ(1)=4一k＞0，即当k＜4时，φ(x)≥φ(1)＞0，φ(x)无零点，两曲线没有交点； ②当φ(1)=4一k=0，即当k=4时，φ(x)≥φ(1)=0，φ(x)有且仅有一个零点，即两曲线仅有一个交点； ③当φ(1)=4一k＜0，即当k＞4时，由于
可知x=1是φ(x)的驻点。当0＜x＜1时，ln
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x＜0，则ln
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x一1+x＜0，而
，因此φ"(x)＜0，即φ(x)单调减少；当x＞1时，ln
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x＞0，则ln
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x－1+x＞0,，且
，因此φ"(x)＞0，即φ(x)单调增加。故φ(1)=4一k为函数φ(x)的唯一极小值，即最小值。 ①当φ(1)=4一k＞0，即当k＜4时，φ(x)≥φ(1)＞0，φ(x)无零点，两曲线没有交点； ②当φ(1)=4一k=0，即当k=4时，φ(x)≥φ(1)=0，φ(x)有且仅有一个零点，即两曲线仅有一个交点； ③当φ(1)=4一k＜0，即当k＞4时，由于
【答案解析】