求下列方程的通解： (Ⅰ)y〞－3y′＝2－6φ； (Ⅱ)y〞＋y＝cosχcos2χ．
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)先求相应齐次方程的通解，由于其特征方程为λ
2
－3λ＝λ(λ－3)＝0，所以通解为
再求非齐次方程的特解，由于其自由项为一次多项式，而且0是特征方程的单根，所以特解应具形式y
*
(χ)＝χ(Aχ＋B)，代入原方程，得 [y
*
(χ)]〞－3[y
*
(χ)]′＝2A－3(2Aχ＋B)＝－6Aχ＋2A－3B＝2－6χ． 比较方程两端的系数，得
解得A＝1，B＝0，即特解为y
*
(χ)＝χ
2
．从而，原方程的通解为． y(χ)＝χ
2
＋C
1
＋C
2
e
3χ
，其中C
1
，C
2
为任意常数． (Ⅱ)由于cosχcos2χ＝
(cosχ＋cos3χ)，根据线性微分方程的叠加原理，可以分别求y〞＋y＝
cosχ与y〞＋y＝
cos3χ的特解y
*
(χ
1
)与y
*
(χ
2
)，相加就是原方程的特解． 由于相应齐次方程的特征方程为λ
2
＋1＝0，特征根为±i，所以其通解应为C
1
cosχ＋C
2
sinχ；同时y〞＋y＝
cosχ的特解应具形式：y
1
*
(χ)＝Aχcosχ＋Bχsinχ，代入原方程，可求得A＝0，B＝
．即y
1
*
(χ)＝
sinχ． 另外，由于3i不是特征根，所以另一方程的特解应具形式y
2
*
(χ)＝Ccos3χ＋Dsin3χ，代入原方程，可得C＝－
，D＝0．这样，即得所解方程的通解为 y(χ)＝
再求非齐次方程的特解，由于其自由项为一次多项式，而且0是特征方程的单根，所以特解应具形式y
*
(χ)＝χ(Aχ＋B)，代入原方程，得 [y
*
(χ)]〞－3[y
*
(χ)]′＝2A－3(2Aχ＋B)＝－6Aχ＋2A－3B＝2－6χ． 比较方程两端的系数，得
解得A＝1，B＝0，即特解为y
*
(χ)＝χ
2
．从而，原方程的通解为． y(χ)＝χ
2
＋C
1
＋C
2
e
3χ
，其中C
1
，C
2
为任意常数． (Ⅱ)由于cosχcos2χ＝
(cosχ＋cos3χ)，根据线性微分方程的叠加原理，可以分别求y〞＋y＝
cosχ与y〞＋y＝
cos3χ的特解y
*
(χ
1
)与y
*
(χ
2
)，相加就是原方程的特解． 由于相应齐次方程的特征方程为λ
2
＋1＝0，特征根为±i，所以其通解应为C
1
cosχ＋C
2
sinχ；同时y〞＋y＝
cosχ的特解应具形式：y
1
*
(χ)＝Aχcosχ＋Bχsinχ，代入原方程，可求得A＝0，B＝
．即y
1
*
(χ)＝
sinχ． 另外，由于3i不是特征根，所以另一方程的特解应具形式y
2
*
(χ)＝Ccos3χ＋Dsin3χ，代入原方程，可得C＝－
，D＝0．这样，即得所解方程的通解为 y(χ)＝
【答案解析】