已知函数z＝f(x，y)的全微分dz＝2xdx－2ydy，并且f(1，1)＝2．求f(x，y)在椭圆域
【正确答案】正确答案：[详解1] 由dz＝2xdx－2ydy可知 z＝f(x，y)＝＝x
2
＋y
2
＋C． 由f(1，1)＝2，得C＝2，故 z＝f(x，y)＝x
2
－y
2
＋2． 令
，解得驻点(0，0)． 在椭圆
上，z＝x
2
－(4—4x
2
)＋2，即 z＝5x
2
－2(－1≤x≤1)， 其最大值为
，最小值为
，再与f(0，0)＝2比较，可知f(x，y)在椭圆域D上的最大值为3，最小值为－2． [详解2] 同详解1，得驻点(0，O)． 用拉格朗日乘数法求函数在椭圆
上的极值． 设
，解得驻点(0，0)． 在椭圆
上，z＝x
2
－(4—4x
2
)＋2，即 z＝5x
2
－2(－1≤x≤1)， 其最大值为
，最小值为
，再与f(0，0)＝2比较，可知f(x，y)在椭圆域D上的最大值为3，最小值为－2． [详解2] 同详解1，得驻点(0，O)． 用拉格朗日乘数法求函数在椭圆
上的极值． 设
【答案解析】解析：[分析] 先由全微分的表达式求出f(x，y)的表达式，再求其最值． [评注] 此题的新颖点在于要求极值的函数没有直接给出，需要根据全微分的表达式求出后再讨论其最值．