【正确答案】[解] (1)对方程组(Ⅰ)的系数矩阵作初等行变换，有

由于n-r(A)=4-2=2，基础解系由2个线性无关的解向量所构成，取x₃，x₄为自由变量，所以β₁=(5，-3，1，0)^T，β₂=(-3，2，0，1)^T是方程组(Ⅰ)的基础解系．
(2)设η是方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的非零公共解，则
η=k₁β₁+k₂β₂=l₁α₁+l₂α₂，其中k₁，k₂与l₁，l₂均不全为零的常数，那么k₁β₁+k₂β₂-l₁α₁-l₂α₂=0．
由此得齐次方程组(Ⅲ)

有非零解．对系数矩阵作初等行变换，有

当且仅当a+1=0时，r(Ⅲ)＜4，方程组有非零解．
此时，(Ⅲ)的同解方程组是
于是