【答案解析】[证] 方法一  用拉格朗日中值定理．
   函数f(t)=lnt在[x，1+x]上满足拉格朗日中值定理，所以存在ξ∈(x，1+x)，使得
   
   因为0＜x＜ξ＜1+x，所以于是有
   
   
   方法二  用函数的单调性．
   令因为
   
   所以F(x)在(0，+∞)上单调递减，又
   
   因此对一切x∈(0，+∞)，恒有F(x)＞0，即