解答题
设A，B是同阶方阵．
(Ⅰ)若A，B相似，试证A，B有相同的特征多项式；
(Ⅱ)若A，B有相同的特征多项式，A，B是否相似，说明理由；
(Ⅲ)若A，B均是实对称阵，证明
(Ⅰ)若A，B相似，试证A，B有相同的特征多项式；
(Ⅱ)若A，B有相同的特征多项式，A，B是否相似，说明理由；
(Ⅲ)若A，B均是实对称阵，证明
【正确答案】
【答案解析】(Ⅰ)[证]A～B，即存在可逆阵P，使得P-1AP=B．故
|λE-B|=|λE-P-1AP|=|λP-1P-P-1AP|=|P-1(λE-A)P|
=|P-1||λE-A||P|=|λE-A|，
故A，B有相同的特征多项式．
(Ⅱ)[解]令
|λE-A|=λ2=|λE-B|，A，B有相同的特征多项式，但A，B不相似．因为任何可逆阵P，
P-1BP=O≠A．
(Ⅲ)[证]必要性证明是(Ⅰ)，现证充分性．若A，B均是实对称阵，且A，B有相同的特征多项式，则A～B．因A，B有相同的特征值λi，i=1，2，…，n，且存在可逆阵P，Q，使得
|λE-B|=|λE-P-1AP|=|λP-1P-P-1AP|=|P-1(λE-A)P|
=|P-1||λE-A||P|=|λE-A|，
故A，B有相同的特征多项式．
(Ⅱ)[解]令
|λE-A|=λ2=|λE-B|，A，B有相同的特征多项式，但A，B不相似．因为任何可逆阵P，
P-1BP=O≠A．
(Ⅲ)[证]必要性证明是(Ⅰ)，现证充分性．若A，B均是实对称阵，且A，B有相同的特征多项式，则A～B．因A，B有相同的特征值λi，i=1，2，…，n，且存在可逆阵P，Q，使得