问答题
设A=E-ξξ
T
，其中E是n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξ
T
是ξ的转置．
证明：(Ⅰ)A
2
=A的充分必要条件是ξ
T
ξ=1．
(Ⅱ)当ξ
T
ξ=1时，A是不可逆矩阵．
【正确答案】
[证] (Ⅰ)由[*]
那么[*]
因为ξ是非零列向量，ξξ
T
≠0．
所以[*]
(Ⅱ)当ξ
T
ξ=1时，由(Ⅰ)知A
2
=A．那么如果A可逆，则有
A=A
-1
A
2
=A
-1
A=E
与A=E-ξξ
T
≠E相矛盾．
【答案解析】
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