解答题
13.已知4阶方阵A=(α1，α2，α3，α4)，其中α1，α2，α3，α4均为4维列向量，且α2，α3，α4线性无关，α1=2α2-α3．如果β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组Ax=β的通解．
【正确答案】解法1：由α2，α3，α4线性无关和α1=2α2-α3知矩阵A的秩为3，因此Ax=0的基础解系中只有一个解向量．
由α1-2α2+α3+0α4=0得(α1，α2，α3，α4)
，即齐次线性方程组Ax=0的基础解系为
，再由
知
为非齐次线性方程组Ax=β的一个特解，于是Ax=β的通解为
解法2：令
得
x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=α1+α2+α3+α4
将α1=2α2-α3代入上式，整理后得
(2x1+x2-3)α2+(-x1+x3)α3+(x4-1)α4=0．
由α2，α3，α4线性无关，知
解此方程组得
由α1-2α2+α3+0α4=0得(α1，α2，α3，α4)
，即齐次线性方程组Ax=0的基础解系为，再由知
为非齐次线性方程组Ax=β的一个特解，于是Ax=β的通解为解法2：令
得x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=α1+α2+α3+α4
将α1=2α2-α3代入上式，整理后得
(2x1+x2-3)α2+(-x1+x3)α3+(x4-1)α4=0．
由α2，α3，α4线性无关，知
解此方程组得
【答案解析】