问答题
设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，且f(a)=f(b)=0，f(c)＞0，a＜c＜b，则至少存在一个ξ∈(a，b)，使f"(ξ)＜0．
【正确答案】
【答案解析】[证]因为f(x)在[a，b]上满足拉格朗日定理条件，可知存在一个η
1
∈(a，c)使得
又因为f(c)＞0，f(a)=0，c-a＞0，所以f"(η 1 )＞0，η 1 ∈(a，c)，
同理有
因为f(c)＞0，f(b)=0，b-c＞0，所以f"(η 2 )＜0，η 2 ∈(c，b)
又因为f"(x)在[η 1 ，η 2 ]上连续，在(η 1 ，η 2 )可导，再由拉格朗日定理知存在一个ξ∈(η 1 ，η 2 )
(a，b)，使
又因为f(c)＞0，f(a)=0，c-a＞0，所以f"(η 1 )＞0，η 1 ∈(a，c)，
同理有
因为f(c)＞0，f(b)=0，b-c＞0，所以f"(η 2 )＜0，η 2 ∈(c，b)
又因为f"(x)在[η 1 ，η 2 ]上连续，在(η 1 ，η 2 )可导，再由拉格朗日定理知存在一个ξ∈(η 1 ，η 2 )
(a，b)，使