有一平底容器，其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(如图)，容器的底面圆的半径为2m。根据设计要求，当以3m
3
／min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以πm
2
／min的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体)。(注：m表示长度单位米，min表示时间单位分。)
问答题
根据t时刻液面的面积，写出t与φ(y)之间的关系式；
【正确答案】正确答案：设在t时刻，液面的高度为y，则由题设知此时液面的面积πφ
2
(y)=4π+πt，因此 t=φ
2
(y)－4。
【答案解析】
问答题
求曲线x=φ(y)的方程。
【正确答案】正确答案：液面的高度为y时，液体的体积为 π∫
0
y
φ
2
(u)du=3t=3φ
2
(y)－12。 上式两边对y求导，得 πφ
2
(y)=6φ(y)φ'(y)， 即πφ(y)=6φ'(y)， 解此微分方程，得 φ(y)=Ce
π／6y
，其中C为任意常数， 由φ(0)=2知C=2，故所求曲线方程为x=2e
π／6y
。
【答案解析】