问答题
已知(X，Y)的联合密度函数
(1)求常数A；(X，Y)的联合分布函数F(x，y)，并问X与Y是否独立?为什么?
(2)求条件概率密度f X|Y (x|y)，f Y|X (y|x)及条件概率
(1)求常数A；(X，Y)的联合分布函数F(x，y)，并问X与Y是否独立?为什么?
(2)求条件概率密度f X|Y (x|y)，f Y|X (y|x)及条件概率
【正确答案】
【答案解析】[分析与解答] 由
，求得A；再由
，对不同的x，y，计算积分求得F(x，y)，最后考虑F(x，y)，F
X
(x)，F
Y
(y)之间关系，判断X、Y是否独立．
(1)因为
，所以A=2．
当x≤0或y≤0时，F(x，y)=0；
当0＜y≤x时，
当0＜x＜y时，
综上得
由于
因为F X (x)·F Y (y)≠F(x，y)，所以X与Y不独立．
(2)由于X的概率密度
Y的概率密度
所以
条件概率
其中
故
(3)我们通过求Z 1 =Y-X的分布函数(或概率密度)来证明Z 1 服从参数λ=1的指数分布，有两种方法：
方法1° (分布函数法)Z 1 =Y-X的分布函数F 1 (z)=P{Y-X≤z}=
，
当z≤0时，F 1 (z)=0；当z＞0时，
综上得
所以Z
1
=Y-X服从参数λ=1的指数分布．
方法2° (公式法)如果(X，Y)～f(x，y)，则Z 1 =Y-X的概率密度
其中
由此可知：当z≤0时f 1 (z)=0；当z＞0时
，
所以Z 1 =Y-X服从参数λ=1的指数分布．
仿照上述方法我们可以求得Z 2 =X+Y的概率密度f 2 (z)．
方法1° (分布函数法)Z 2 =X+Y的分布函数
由f(x，y)的非零定义域知：当z≤0时F 2 (z)=0；当z＞0时
综上得
方法2° (公式法)若(X，Y)～f(x，y)，则Z 2 =X+Y的概率密度
其中
所以当z≤0时f 2 (z)=0；当z＞0时
综上得
，求得A；再由
，对不同的x，y，计算积分求得F(x，y)，最后考虑F(x，y)，F
X
(x)，F
Y
(y)之间关系，判断X、Y是否独立．
(1)因为
，所以A=2．
当x≤0或y≤0时，F(x，y)=0；
当0＜y≤x时，
当0＜x＜y时，
综上得
由于
因为F X (x)·F Y (y)≠F(x，y)，所以X与Y不独立．
(2)由于X的概率密度
Y的概率密度
所以
条件概率
其中
故
(3)我们通过求Z 1 =Y-X的分布函数(或概率密度)来证明Z 1 服从参数λ=1的指数分布，有两种方法：
方法1° (分布函数法)Z 1 =Y-X的分布函数F 1 (z)=P{Y-X≤z}=
，
当z≤0时，F 1 (z)=0；当z＞0时，
综上得
所以Z
1
=Y-X服从参数λ=1的指数分布．
方法2° (公式法)如果(X，Y)～f(x，y)，则Z 1 =Y-X的概率密度
其中
由此可知：当z≤0时f 1 (z)=0；当z＞0时
，
所以Z 1 =Y-X服从参数λ=1的指数分布．
仿照上述方法我们可以求得Z 2 =X+Y的概率密度f 2 (z)．
方法1° (分布函数法)Z 2 =X+Y的分布函数
由f(x，y)的非零定义域知：当z≤0时F 2 (z)=0；当z＞0时
综上得
方法2° (公式法)若(X，Y)～f(x，y)，则Z 2 =X+Y的概率密度
其中
所以当z≤0时f 2 (z)=0；当z＞0时
综上得