问答题
设a
1
=1，
，证明：数列{a
n
}收敛，并求
，证明：数列{a
n
}收敛，并求
【正确答案】
【答案解析】[证明] 先证明{a
n
}单调减少．
设
，由a
k+1
＜a
k
得1-a
k+1
＞1-a
k
，
从而
，即a
k+2
＜a
k+1
，由归纳法得数列{a
n
}单调减少．
现证明
设
则
，从而
，即
，由归纳法，对一切n，有
．
由极限存在准则，数列{a n }收敛，设
，对
两边求极限得
，解得
设
，由a
k+1
＜a
k
得1-a
k+1
＞1-a
k
，
从而
，即a
k+2
＜a
k+1
，由归纳法得数列{a
n
}单调减少．
现证明
设
则
，从而
，即
，由归纳法，对一切n，有
．
由极限存在准则，数列{a n }收敛，设
，对
两边求极限得
，解得