问答题
设4阶矩阵A=(α
1
，α
2
，α
3
，α
4
)，方程组Ax=β的通解为(1，2，2，1)
T
+c(1，一2，4，0)
T
，c任意．
记B=(α
3
，α
2
，α
1
，β-α
4
)．求方程组Bx=α
1
一α
2
的通解．
【正确答案】正确答案：首先从AX=β的通解为(1，2，2，1)
T
+c(1，一2，4，0)
T
可得到下列讯息： ①Ax=0的基础解系包含1个解，即 4一r(A)=1， 得r(A)=3．即 r(α
1
，α
2
，α
3
，α
4
)=3． ②(1，2，2，1)
T
是Ax=β解，即 α
1
+2α
2
+2α
3
+α
4
=β． ③(1，一2，4，0)
T
是Ax=0解，即 α
1
-2α
2
+4α
3
=0 α
1
，α
2
，α
3
线性相关，r(α
1
，α
2
，α
3
)=2． 显然B(0，一1，1，0)
T
=α
1
一α
2
，即 (0，-1，1，0)
T
是Bx=α
1
一α
2
的一个解． 由②，B=( α
3
，α
2
，α
1
，β一α
4
)=(α
3
，α
2
，α
1
，α
1
+2α
2
+2α
3
)， 于是 r(B)=r(α
3
，α
2
，α
1
，α
1
+2α
2
+2α
3
)=r(α
1
，α
2
，α
3
)=2． 则Bx=0的基础解系包含解的个数为4一r(B)=2个． α
1
-2α
2
+4α
3
=0 说明(4，一2，1，0)
T
是Bx=0的解；又从 B=(α
3
，α
2
，α
1
，α
1
+2α
2
+2α
3
) 容易得到B(一2，一2，一1，1)
T
=0，说明(一2，一2，一1，1)
T
也是Bx=0的解．于是(4，一2，1，0)
T
和(一2，一2，一1，1)
T
构成Bx=0的基础解系． Bx=α
1
-α
2
的通解为： (0，一1，1，0)
T
+c
1
(4，一2，1，0)
T
+c
2
(一2，一2，一1，1)
T
，c
1
，c
2
任意．
【答案解析】