设A是n阶矩阵，α
1
，α
2
，…，α
n
是n维列向量，且α
n
≠0，若
Aα
1
=α
2
，Aα
2
=α
3
，…，Aα
n—1
=α
n
，Aα
n
=0．
(1)证明：α
1
，α
2
，…，α
n
线性无关；
(2)求A的特征值与特征向量．
【正确答案】正确答案：(1)令x
1
α
1
+x
2
α
2
+…+x
n
α
n
=0，则 x
1
Aα
1
+x
2
Aα
2
+…+x
n
Aα
n
=0→x
1
α
2
+x
2
α
3
+…+x
n—1
α
n
=0 x
1
Aα
2
+x
2
Aα
3
+…+x
n—1
Aα
n
=0→x
1
α
3
+x
2
α
4
+…+x
n—2
α
n
=0 x
1
α
n
=0 因为a
n
≠0，所以x
1
=0，反推可得x
2
=…=x
n
=0，所以α
1
，α
2
，…，α
n
线性无关． (2)A(α
1
，α
2
，…，α
n
)=(α
1
，α
2
，…，α
n
)
【答案解析】