解答题
15.设n为自然数，f(χ)＝∫0χ(t－t2)sin2ntdt，证明：
(Ⅰ)f(χ)在[0，＋∞)取最大值并求出最大值点；
(Ⅱ)
(Ⅰ)f(χ)在[0，＋∞)取最大值并求出最大值点；
(Ⅱ)
【正确答案】(Ⅰ)求f′(χ)，考察f(χ)的单调性区间．由于
f′(χ)＝(χ－χ2)sin2nχ＝χ(1－χ)sin2nχ
χ＞1时仅当χ＝kπ(k＝1，2，…)时f′(χ)＝0．于是，f(χ)在[0，1]单调上升，f(χ)在[1，＋∞)单调下降
f(χ)＜f(1)，χ∈[0，＋∞)，χ≠1．
因此，χ＝1是f(χ)在[0，＋∞)的唯一极值点且是极大值点，也是最大值点，从而
f(χ)＝f(1)＝∫01(t－t2)sin2ntdt．
(Ⅱ)估计M＝
f(χ)就是估计积分值∫01(t－t2)sin2ntdt．由sint≤t(t≥0)
M＝∫01(t－t2)sin2ntdt≤∫01(t－t2)t2ndt＝∫01t2n+1dt－∫01t2n+2dt
＝
f′(χ)＝(χ－χ2)sin2nχ＝χ(1－χ)sin2nχ
χ＞1时仅当χ＝kπ(k＝1，2，…)时f′(χ)＝0．于是，f(χ)在[0，1]单调上升，f(χ)在[1，＋∞)单调下降
f(χ)＜f(1)，χ∈[0，＋∞)，χ≠1．
因此，χ＝1是f(χ)在[0，＋∞)的唯一极值点且是极大值点，也是最大值点，从而
f(χ)＝f(1)＝∫01(t－t2)sin2ntdt．(Ⅱ)估计M＝
f(χ)就是估计积分值∫01(t－t2)sin2ntdt．由sint≤t(t≥0)M＝∫01(t－t2)sin2ntdt≤∫01(t－t2)t2ndt＝∫01t2n+1dt－∫01t2n+2dt
＝
【答案解析】