解答题
7.设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=（一1，2，一1）T，α2=（0，一1，1）T是线性方程组Ax=0的两个解。
（Ⅰ）求A的特征值与特征向量；
（Ⅱ）求正交矩阵Q和对角矩阵Λ，使得QTAQ=Λ。
（Ⅰ）求A的特征值与特征向量；
（Ⅱ）求正交矩阵Q和对角矩阵Λ，使得QTAQ=Λ。
【正确答案】（Ⅰ）因为矩阵A的各行元素之和均为3，所以有
则λ=3是矩阵A的特征值，α=（1，1，1）T是对应的特征向量。对应λ=3的全部特征向量为kα=k（1，1，1）T，其中k是不为零的常数。
又由题设知Aα1=0，Aα2=0，即Aα1=0．α1，Aα2=0．α2，而且α1，α2线性无关，所以λ=0是矩阵A的二重特征值，α1，α2是其对应的特征向量，因此对应λ=0的全部特征向量为
k1α1+k2α2=k1（一1，2，一1）T+k2（0，一1，1）T，其中k1，k2是不全为零的常数。
（Ⅱ）因为A是实对称矩阵，所以α与α1，α2正交，只需将α1与α2正交化。
由施密特正交化法，取
β1=α1，β2=α2一
再将α，β1，β2单位化，得
令Q=（η1，η2，η3），则Q—1=QT，且
则λ=3是矩阵A的特征值，α=（1，1，1）T是对应的特征向量。对应λ=3的全部特征向量为kα=k（1，1，1）T，其中k是不为零的常数。
又由题设知Aα1=0，Aα2=0，即Aα1=0．α1，Aα2=0．α2，而且α1，α2线性无关，所以λ=0是矩阵A的二重特征值，α1，α2是其对应的特征向量，因此对应λ=0的全部特征向量为
k1α1+k2α2=k1（一1，2，一1）T+k2（0，一1，1）T，其中k1，k2是不全为零的常数。
（Ⅱ）因为A是实对称矩阵，所以α与α1，α2正交，只需将α1与α2正交化。
由施密特正交化法，取
β1=α1，β2=α2一
再将α，β1，β2单位化，得
令Q=（η1，η2，η3），则Q—1=QT，且
【答案解析】