结构推理
现有两个股票市场,每个市场都受公共因素F的影响,其中F的期望值等于零,标准差等于10/%。每个市场都有大量的证券,因此投资者可以根据自己的意愿选择股票的种数。由于限制,投资者只能投资于其中的一个市场。在这两个证券市场上的每种证券的期望收益等于10%。
在第一个市场上,第i种证券的收益可以用下面的公式表示:
其中,表示第一个市场上第i种证券收益的异动,它服从正态分布,且数学期望值为零。在第二个市场上,第j种证券的收益可以用下列公式表示:
其中,表示第二个市场上第j种证券收益的异动,它服从正态分布,且数学期望值为零。对于任意两种股票i和j,与的标准差都等于20/%。请问:
(1)如果第一个证券市场上的任意两种证券i和j的收益异动的相关系数等于0,第二个证券市场上的任意两种证券i和j的收益异动的相关系数也等于0,那么厌恶风险的投资者将偏好在哪一个市场上投资?
(2)如果第一个证券市场上的任意两种证券i和j的收益异动的相关系数等于0.9,第二个证券市场上的任意两种证券i和j的收益异动的相关系数也等于0.9,那么厌恶风险的投资者将偏好在哪一个市场上投资?
(3)如果第一个证券市场上的任意两种证券i和j的收益异动的相关系数等于0,第二个证券市场上的任意两种证券i和j的收益异动的相关系数等于0.5,那么厌恶风险的投资者将偏好在哪一个市场上投资?
(4)一般而言,如果要使得厌恶风险的投资者对两个市场具有同样的偏好而投资任意一个市场,那么两个市场的收益异动的相关系数之间的相关关系如何?
【正确答案】解:为了决定厌恶风险的投资者将偏好在哪一个市场上投资,必须计算两个市场上众多股票构造的组合的方差。(提示:因为已知分散化投资是有利的,所以假设一旦一个投资者
选择了其所投资的市场,那么该投资者将在这个市场上购买许多股票。)
已知:,对任意i来说,。
假设:每个股票的权重是1/N;即对所有的股票i来说。
如果一个组合中包含N个股票,每个股票构成该组合的1/N,那么,该组合的收益即为这N个股票收益总和的1/N倍。又已知每股收益是,因此有:
由于在每个市场都能拥有足够多的股票,因此有,,此时,
将以上所得的进行加总,即有:
(l)由于,代入可得:
因为,此时厌恶风险的投资者将偏好在第二个市场上投资。
(2)由于,且,所以有:
因为,此时厌恶风险的投资者将偏好投资在第二个市场上。
(3)由于,且,所以有:
因为Var(R;。)=Var(凡。),此时厌恶风险的投资者对两个市场具有同样的偏好。
(4)对两个市场具有同样的偏好意味着在两个市场的投资组合的方差相等,即:
因此,对于任何存在这种相关关系[如问题(3)中所示]的相关系数,风险厌恶投资者在两个市场上将是无差异的。
【答案解析】