设3阶实对称矩阵A的特征值是1，2，－1，矩阵A的属于特征值1与2的特征向量分别是α
1
＝(2，3，－1)
T
与α
2
＝(1，a，2a)
T
，A
*
是A的伴随矩阵，求齐次方程组(A
*
－2E)χ＝0的通解．
【正确答案】正确答案：由A的特征值是1，2，－1，可知行列式｜A｜＝－2，那么A
*
的特征值是－2，－1，2．于是
从而A
*
－2E～
所以r(A
*
－2E)＝r(∧)＝2．那么，(A
*
－2E)χ＝0的基础解系由一个线性无关的解向量所构成． 又因矩阵A属于λ＝－1的特征向量就是A
*
属于λ＝2的特征向量，亦即A
*
－2E属于λ＝0的特征向量． 由于A是实对称矩阵，不同特征值的特征向量相互正交．设矩阵A属于特征值λ＝－1的特征向量是α
3
＝(χ
1
，χ
2
，χ
3
)
T
，则有
a＝－2
从而A
*
－2E～
所以r(A
*
－2E)＝r(∧)＝2．那么，(A
*
－2E)χ＝0的基础解系由一个线性无关的解向量所构成． 又因矩阵A属于λ＝－1的特征向量就是A
*
属于λ＝2的特征向量，亦即A
*
－2E属于λ＝0的特征向量． 由于A是实对称矩阵，不同特征值的特征向量相互正交．设矩阵A属于特征值λ＝－1的特征向量是α
3
＝(χ
1
，χ
2
，χ
3
)
T
，则有
a＝－2
【答案解析】