解答题
14.
设A=E一ξξ
T
，ξ是非零列向量，证明：(1)A
2
=A的充要条件是ξ
T
ξ=1；(2)当ξ
T
ξ=1时，A不可逆．
【正确答案】
(1)A
2
=(E一ξξ
T
)
2
=E一2ξξ
T
+(ξξ
T
)
2
=E一(2一ξ
T
ξ)ξξ
T
=A←→2一ξ
T
ξ=1，即ξ
T
ξ=2—1=1．
(2)ξ
T
ξ=1，A
2
一A=A(A—E)=O，A≠E，AX=0有非零解，故｜A｜=0．
【答案解析】
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