解答题
4.设x1＞0，xn+1=1—e-xn，n=1，2，…．(1)证明数列{xn}收敛，并求其极限；(2)求极限
【正确答案】 (1)因为x1＞0，所以x2=1一
＞0．
设xn＞0，则xn+1=1—
＞0，从而{xn}有下界．
令f(x)=x一(1一e-x)，则f’(x)=1一e-x，当x＞0时，f’(x)＞0，从而f(x)＞f(0)=0，即x＞1一e-x，于是xn＞1一e-xn=xn+1，即{xn}单调递减．
由单调有界准则，{xn}收敛，设
，则a=1一e-a，得a=0．
(2)
＞0．设xn＞0，则xn+1=1—
＞0，从而{xn}有下界．令f(x)=x一(1一e-x)，则f’(x)=1一e-x，当x＞0时，f’(x)＞0，从而f(x)＞f(0)=0，即x＞1一e-x，于是xn＞1一e-xn=xn+1，即{xn}单调递减．
由单调有界准则，{xn}收敛，设
，则a=1一e-a，得a=0．(2)
【答案解析】