解答题
14.设f(x)在[0，1]上二阶连续可导且f(0)=f(1)，又｜f″(x)｜≤M，证明：｜f′(x)｜≤
【正确答案】由泰勒公式得
f(0)=f(x)+f′(x)(0－x)+
(0－x)2，ξ∈(0，x)，
f(1)=f(x)+f′(x)(1－x)+
(1－x)2，η∈(x，1)，
两式相减得 f′(x)=
[f″(ξ)x2－f″(η)(1－x)2]，
取绝对值得 ｜f′(x)｜≤
[x2+(1－x)2]，
因为x2≤x，(1－x)2≤1－x，所以x2+(1－x)2≤1，故｜f′(x)｜≤
f(0)=f(x)+f′(x)(0－x)+
(0－x)2，ξ∈(0，x)，f(1)=f(x)+f′(x)(1－x)+
(1－x)2，η∈(x，1)，两式相减得 f′(x)=
[f″(ξ)x2－f″(η)(1－x)2]，取绝对值得 ｜f′(x)｜≤
[x2+(1－x)2]，因为x2≤x，(1－x)2≤1－x，所以x2+(1－x)2≤1，故｜f′(x)｜≤
【答案解析】