设连接两点A(0，1)，B(1，0)的一条凸弧，P(χ，y)为凸弧AB上的任意点(图6．5)．已知凸弧与弦AP之间的面积为χ
3
，求此凸弧的方程．
【正确答案】正确答案：设凸弧的方程为y＝f(χ)，因梯形OAPC的面积为
[1＋f(χ)]，故χ
3
＝∫
0
χ
f(t)dt－
[1＋f(χ)]． 两边对χ求导，则得y＝f(χ)所满足的微分方程为 χy′－y＝－6χ
2
－1． 其通解为y＝
＝Cχ－6χ
2
＋1． 对任意常数C，总有y(0)＝1，即此曲线族均通过点A(0，1)． 又根据题设，此曲线过点(1，0)，即y(1)＝0，由此即得C＝5，即所求曲线为y＝5χ－6χ
2
＋1．
[1＋f(χ)]，故χ
3
＝∫
0
χ
f(t)dt－
[1＋f(χ)]． 两边对χ求导，则得y＝f(χ)所满足的微分方程为 χy′－y＝－6χ
2
－1． 其通解为y＝
＝Cχ－6χ
2
＋1． 对任意常数C，总有y(0)＝1，即此曲线族均通过点A(0，1)． 又根据题设，此曲线过点(1，0)，即y(1)＝0，由此即得C＝5，即所求曲线为y＝5χ－6χ
2
＋1．
【答案解析】