填空题 设A是n阶实对称矩阵，B，C为n阶矩阵，满足条件 (A+2E)B=O，(A一3E)C=O， 且r(B)=r(0＜r＜n)，r(B)+r(C)=n．则二次型f(x 1 ，x 2 ，…，x n )=X T AX的规范形为 1．
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【正确答案】 1、{{*HTML*}}正确答案：y 1 2 +y 2 2 +…+y n 2 一y n—r+1 2 一…一y n 2    
【答案解析】解析：因(A+2E)B=O，r(B)=r，则B中列向量组的极大线性无关组向量个数为r，且该极大线性无关组是(A+2E)X=0的解，设为β 1 ，β 2 ，β 3 ，也是A的对应于特征值λ=一2的线性无关的特征向量． 又(A一3E)C=O，因r(C)=n一r(B)=n一r，故C中列向量组的极大线性无关组向量个数为 n一r，且该极大线性无关组是(A一3E)X=0的解，也是A的对应于特征值λ=3的线性无关的特征向量，记为γ 1 ，γ 2 ，…，γ n—r ，故X T AX的正惯性指数为n一r，负惯性指数为r． 故知f(x 1 ，x 2 ，…，x n )=X T AX的规范形为 y 1 2 +y 2 2 +…+y n 2 一y n—r+1 2 一…一y n 2 ．