已知二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=(1一a)
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)二次型矩阵A=
．二次型的秩为2，即二次型矩阵A的秩为2， 从而 ｜A｜=2
=－8a=0，解得a=0． (Ⅱ)当a=0时，A=
，由特征多项式
得矩阵A的特征值λ
1
=λ
2
=2，λ
3
=0． 当λ=2时，由(2E—A)x=0，
得特征向量α
1
=(1，1，0)
T
，α
2
=(0，0，1)
T
． 当λ=0时，由(0E—A)x=0，
，得特征向量α
3
=(1，一1，0)
T
． 容易看出，α
1
，α
2
，α
3
已两两正交，故只需将它们单位化：
那么令Q=(γ
1
，γ
2
，γ
3
)=
，则在正交变换x=Qy下，二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)化为标准形 f(x
1
，x
2
，x
3
)=x
T
Ax=y
T
Ay=
(Ⅲ)由f(x
1
，x
2
，x
3
)=
=0，得
．二次型的秩为2，即二次型矩阵A的秩为2， 从而 ｜A｜=2
=－8a=0，解得a=0． (Ⅱ)当a=0时，A=
，由特征多项式
得矩阵A的特征值λ
1
=λ
2
=2，λ
3
=0． 当λ=2时，由(2E—A)x=0，
得特征向量α
1
=(1，1，0)
T
，α
2
=(0，0，1)
T
． 当λ=0时，由(0E—A)x=0，
，得特征向量α
3
=(1，一1，0)
T
． 容易看出，α
1
，α
2
，α
3
已两两正交，故只需将它们单位化：
那么令Q=(γ
1
，γ
2
，γ
3
)=
，则在正交变换x=Qy下，二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)化为标准形 f(x
1
，x
2
，x
3
)=x
T
Ax=y
T
Ay=
(Ⅲ)由f(x
1
，x
2
，x
3
)=
=0，得
【答案解析】