(2007年试题，19)设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值f(a)=g(n)f(b)=g(b)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f
""
(ξ)=g
""
(ξ)．
【正确答案】正确答案：设f(x)，g(x)在(a，b)内某点η∈(a，b)同时取得最大值，则f(η)=g(η)．若两个函数取得最大值的点不同，则可设fC=maxf(x)．g(d)=maxg(x)，故有fC一g>0,f(d)一g(d)<0，由介值定理，在(c，d)内(或(d，c)内)肯定存在η使得f(η)=g(η)．由罗尔定理在区间(a，η)，(η，b)内分别存在一点ξ
1
，ξ
2
使得，f
"
(ξ
1
)=g
"
(ξ
1
)，f
"
(ξ
2
)=g
"
(ξ
2
)．在区间(ξ
1
，ξ
2
)内再用罗尔定理，即存在ξ∈(ξ
1
，ξ
2
)c(a，b)，使得f
""
(ξ)=g，(ξ)． 解析二利用以下两个已知的结论：(1)设h(x)在(a，b)可导，若h
"
(x)在(a，b)恒不为零，则h
"
(x)>0(x∈(a，b))h
"
(x)<0(x∈(a，b))．(2)设h(x)在[a，b]连续，在(a，b)可导，若h(a)=h(b)=0，h(x)在[a，b]为凸(凹)函数，则h(x)>0(或<0)(x∈(a，b))．同前，由题设
x
1
∈(a，b)，M=
f(x)=f(x
1
)，
x
2
∈(a，b)，M=
x
1
∈(a，b)，M=
f(x)=f(x
1
)，
x
2
∈(a，b)，M=
【答案解析】