解答题
设n阶矩阵A、B乘积可交换，ξ1，…，ξr1、η1，…，ηr2分别是方程组Ax=0与Bx=0的
一个基础解系，且对于n阶矩阵C、D，满足r(CA+DB)=n．
一个基础解系，且对于n阶矩阵C、D，满足r(CA+DB)=n．
问答题
证明：
【正确答案】
【答案解析】[证] 因为
由
知方程组
只有零解，即Ax=0与Bx=0无非零公共解，又
分别为Ax=0与Bx=0的基础解系，于是
由
知方程组只有零解，即Ax=0与Bx=0无非零公共解，又分别为Ax=0与Bx=0的基础解系，于是
问答题
证明：ξ1，…，ξr1、η1，…，ηr2是方程组ABx=0的一个基础解系．
【正确答案】
【答案解析】[证] 显然ABηi=0，i=1，2，…，r2，又AB=BA，所以ABξi=0，i=1，2，…，r1，故
是方程组(AB)x=0的r1+r2个线性无关的解向量.
又r(AB)≥r(A)+r(B)-n=(n-r1)+(n-r2)-n=n-(r1-r2)，
所以ABx=0的基础解系中至多有n-[n-(r1+r2)]=r1+r2个解向量，
从而
是方程组(AB)x=0的r1+r2个线性无关的解向量.又r(AB)≥r(A)+r(B)-n=(n-r1)+(n-r2)-n=n-(r1-r2)，
所以ABx=0的基础解系中至多有n-[n-(r1+r2)]=r1+r2个解向量，
从而