问答题
已知矩阵
【正确答案】由A的特征多项式[*]
知矩阵A的特征值是λ1=λ2=6，λ3=-2．由于矩阵A可以相似对角化，故λ=6必有2个线性无关的特征向量，那么由
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知二次型XTAx=XTA1x的特征值是6，7，-3．
对λ=6，由(6E-A)x=0 得 α1=(0，0，1)T．
对λ=7，由(7E-A1)x=0 得 α2=(1，1，0)T．
对λ=-3，由(-3E-A1)x=0 得 α3=(1，-1，0)T．
不同特征值的特征向量已正交，故只需单位化，有
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知矩阵A的特征值是λ1=λ2=6，λ3=-2．由于矩阵A可以相似对角化，故λ=6必有2个线性无关的特征向量，那么由
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知二次型XTAx=XTA1x的特征值是6，7，-3．
对λ=6，由(6E-A)x=0 得 α1=(0，0，1)T．
对λ=7，由(7E-A1)x=0 得 α2=(1，1，0)T．
对λ=-3，由(-3E-A1)x=0 得 α3=(1，-1，0)T．
不同特征值的特征向量已正交，故只需单位化，有
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【答案解析】评注 矩阵A虽不是实对称矩阵，但xTAx仍是二次型，只不过此二次型的矩阵不是A而是A1．