问答题
设一设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N(t)服从参数为砧的泊松分布，求：
问答题
相继两次故障之间的时间间隔T的概率分布；
【正确答案】t＜0时，P(T＞t)=1；t≤0时，p(T＞t)=P{N(t)=0)=[*]，故T的分布函数为F(t)=P(T≤t)=1-P(T＞t)=[*]；
【答案解析】
问答题
在设备已无故障工作8小时的情况下，再无故障运行8小时的概率．
【正确答案】取T的单位为小时，所求概率为P{T＞16[*]．
【答案解析】
问答题
设随机变量X1，X2，X3，X4独立同分布，P(X1=0)=0.6，P(X1=1)=0.4．求
【正确答案】X=X1X4-X2X3可能取的值为：-1，0，1．P(X=-1)=P(X1X4-X23=1)=P(X1X4=0)P(X2X3=1)=[1-P(X1=1，X4=1)]P(X2=1)P(X3=1)=(1-0.42)×0.42=0.1344，同理P(X=1=0.1344，得P(X=0)=1-2×0.1344=0.7312
【答案解析】
问答题
设飞机引擎在飞行中正常运行的概率为户，且各引擎是否正常运行是相互独立的．如果有至少50%的引擎正常运行，飞机就能成功飞行．问对于多大的P而言，4引擎飞机比2引擎飞机更可取?
【正确答案】设4引擎与2引擎飞机分别有X与Y个引擎正常工作，则X～B(4，p)，Y～B(2，p)，P(X≥2)=1-(1-p)4-4p(1-p)3，P(Y≥1)=1-(1-p)2，由P(X≥2)≥P(Y≥1)，而0＜P＜1，可解得[*]．
【答案解析】
问答题
设二维随机变量(X，Y)的概率密度为
【正确答案】关于X的边缘密度为fX(x)=[*]．若｜x｜≥1，则fX(x)=0；若｜x｜＜1，则fX(x)=[*]．
关于y的边缘密度为[*]
若｜y｜≥1，则fY(y)=0；若｜y｜＜1，则[*]．
即[*]
可见[*]
即X与Y不独立．
而(｜X｜，｜Y｜)的分布函数为F(x，y)=P{｜X｜≤x，｜y｜≤y}
当x≤0或y≤0时，f(x，y)=0；
当x≥0，y≥0时，F(x，y)=P{-x≤X≤x，-y≤Y≤y)=[*]．
当x≥1，y≥1时，F(x，y)=[*]；
当0＜x≤1，y≥1时，F(x，y)=[*]；
当x≥1，0＜y≤1时，F(x，y)=[*]；
当0＜x＜1，0＜y＜1时，F(x，y)=[*]．
故[*]
于是，关于｜X｜的(边缘)分布函数为：
[*]
而关于｜Y｜的(边缘)分布函数为：
[*]
可见F｜x｜(x)·F｜Y｜(y)=F(x，y) [*](x，y)∈R2，即｜X｜与｜Y｜相互独立。
关于y的边缘密度为[*]
若｜y｜≥1，则fY(y)=0；若｜y｜＜1，则[*]．
即[*]
可见[*]
即X与Y不独立．
而(｜X｜，｜Y｜)的分布函数为F(x，y)=P{｜X｜≤x，｜y｜≤y}
当x≤0或y≤0时，f(x，y)=0；
当x≥0，y≥0时，F(x，y)=P{-x≤X≤x，-y≤Y≤y)=[*]．
当x≥1，y≥1时，F(x，y)=[*]；
当0＜x≤1，y≥1时，F(x，y)=[*]；
当x≥1，0＜y≤1时，F(x，y)=[*]；
当0＜x＜1，0＜y＜1时，F(x，y)=[*]．
故[*]
于是，关于｜X｜的(边缘)分布函数为：
[*]
而关于｜Y｜的(边缘)分布函数为：
[*]
可见F｜x｜(x)·F｜Y｜(y)=F(x，y) [*](x，y)∈R2，即｜X｜与｜Y｜相互独立。
【答案解析】
问答题
设随机变量X，Y，Z独立，均服从指数分布，参数依次为λ1，λ2，λ3(均为正)．求P{X=min(X，Y，Z)}．
【正确答案】由已知可得：(X，Y，Z)的概率密度为
[*]
∴P{X=min(X，Y，Z)}=P{X≤Y，X≤Z}=[*]
=[*]
【答案解析】
问答题
函数
【正确答案】令a=c=0，b=d=2，则a＜b，c＜d，但
F(b，d)=F(a，d)-F(b，c)+F(a，c)=1-1-1+0=-1＜0，
可见F(x，y)不是随机变量的分布函数。
【答案解析】
问答题
设X～U(0，1)且X与Y独立同分布，求
【正确答案】由题意，(X，Y)的概率密度为
[*]
则F(u)=P(ξ≤u)=[*]
u≤0时，F(u)=0；
u≥1时，F(u)=1；
[*]时，[*]
其中G见图1中阴影部分：
[*][*]时，[*]
其中D见图2中阴影部分．
[*]
故[*]
【答案解析】
问答题
设X与Y独立同分布，P(X=1)=p，(0＜p＜1)，p(X=0)=1-p．令Z=
【正确答案】P(Z=0)P(X+Y=1)=P(X=0，Y=1)+P(X=1，Y=0)=2p(1-p)
P(Z=1)=P(X+Y=0)+P(X+Y=1)=P(X=0，Y=0)+P(X=1，Y=1)=(1-p)2+p2
而 P(X=0，Z=0)=P(X=0，Y=1)=P(X=0)P(Y=1)=p(1=p)
如果P(X=0，Z=0)=P(X=0)P(Z=0)，则须p(1-p)=(1-p)·2p(1-p)
解得[*]．不难验算出，[*]时，P(X=0，Z=1)=P(X=0)P(Z=1)=[*]，P(X=1，Z=0)=P(X=1)P(Z=0)=[*]，P(X=1，Z=1)=P(X=1)P(Z=1)=[*]．故知当且仅当[*]时，X与Z独立．
P(Z=1)=P(X+Y=0)+P(X+Y=1)=P(X=0，Y=0)+P(X=1，Y=1)=(1-p)2+p2
而 P(X=0，Z=0)=P(X=0，Y=1)=P(X=0)P(Y=1)=p(1=p)
如果P(X=0，Z=0)=P(X=0)P(Z=0)，则须p(1-p)=(1-p)·2p(1-p)
解得[*]．不难验算出，[*]时，P(X=0，Z=1)=P(X=0)P(Z=1)=[*]，P(X=1，Z=0)=P(X=1)P(Z=0)=[*]，P(X=1，Z=1)=P(X=1)P(Z=1)=[*]．故知当且仅当[*]时，X与Z独立．
【答案解析】