问答题
设矩阵A=
【正确答案】由题设，A=
，则|A-λE|=0，
即其行列式
可得出
(λ-2)(λ2-8λ+18+3a)=0．
若λ=2是特征方程的二重根，则22-8·2+18+3a=0，解之得a=-2，此时λ1=λ2=2，λ3=6，且A-2E=
．显然r(A-2E)=1，所以对应特征值2有两个线性无关的特征向量，因此A可相似对角化．
若λ=2不是特征方程的二重根，则λ2-8λ+18+3a=0有二重根，即64-4(18+3a)=0，解之得a=-
．此时λ1=2，λ2=λ3=4，
且
，则|A-λE|=0，即其行列式
可得出
(λ-2)(λ2-8λ+18+3a)=0．
若λ=2是特征方程的二重根，则22-8·2+18+3a=0，解之得a=-2，此时λ1=λ2=2，λ3=6，且A-2E=
．显然r(A-2E)=1，所以对应特征值2有两个线性无关的特征向量，因此A可相似对角化．若λ=2不是特征方程的二重根，则λ2-8λ+18+3a=0有二重根，即64-4(18+3a)=0，解之得a=-
．此时λ1=2，λ2=λ3=4，且
【答案解析】[考点提示] 矩阵对角化、相似矩阵．