设f(x)＝
(I)求f'(x)； (Ⅱ)证明：x＝0是f(x)的极大值点；
(Ⅲ)令x
n
＝
，考察f'(x
n
)是正的还是负的，n为非零整数；
(Ⅳ)证明：对
(I)求f'(x)； (Ⅱ)证明：x＝0是f(x)的极大值点；
(Ⅲ)令x
n
＝
，考察f'(x
n
)是正的还是负的，n为非零整数；
(Ⅳ)证明：对
【正确答案】正确答案：(I)当x≠0时按求导法则得
当x＝0时按导数定义得
(II)由于f(x)一f(0)＝一x
2
(2＋sin
)＜0(x≠0)，即f(x)＜f(0)，于是由极值的定义可知x＝0是f(x)的极大值点． (III)令x
N
＝
(N＝±1，±2，±3，…)，则sin
＝0，cos
＝(一1)
n
，于是
(Ⅳ)对
δ＞0，当n为
负奇数且｜n｜充分大时x
n
∈(一δ，0)，f'(x
n
)＜0
f(x)在(一δ，0)不单调上升；当n为正偶数且n充分大时x
n
∈(0，δ)，f'(x
n
)＞0
当x＝0时按导数定义得
(II)由于f(x)一f(0)＝一x
2
(2＋sin
)＜0(x≠0)，即f(x)＜f(0)，于是由极值的定义可知x＝0是f(x)的极大值点． (III)令x
N
＝
(N＝±1，±2，±3，…)，则sin
＝0，cos
＝(一1)
n
，于是
(Ⅳ)对
δ＞0，当n为
负奇数且｜n｜充分大时x
n
∈(一δ，0)，f'(x
n
)＜0
f(x)在(一δ，0)不单调上升；当n为正偶数且n充分大时x
n
∈(0，δ)，f'(x
n
)＞0
【答案解析】