单选题
5.(2007年)设函数f(x)在(0，+∞)上具有二阶导数，且f"(x)＞0，令un=f(n)(n=1，2，…)，则下列结论正确的是( )
【正确答案】
D
【答案解析】方法一：设f(x)=x2，则f(x)在(0，+∞)上具有二阶导数，且f"(x)＞0，u1＜u2，但{un}={n2}发散，排除C；
设
则f(x)在(0，+∞)上具有二阶导数，且f"(x)＞0，u1＞u2，但
收敛．排除B；
设f(x)=一lnx，则f(x)在(0，+∞)上具有二阶导数，且f"(x)＞0，u1＞u2，但{un}={一lnn}发散，排除A。故应选D。
方法二：由拉格朗日中值定理，有
un+1一un=f(n+1)一f(n)=f′(ξn)(n+1—n)=f′(ξn)，
其中n＜ξn＜n+1(n=1，2，…)。
由f"(x)＞0知，f′(x)单调增加，故
f′(ξ1)＜f′(ξ2)＜…＜f′(ξn)＜…，
所以
于是当u2一u1＞0时，有
设
则f(x)在(0，+∞)上具有二阶导数，且f"(x)＞0，u1＞u2，但收敛．排除B；设f(x)=一lnx，则f(x)在(0，+∞)上具有二阶导数，且f"(x)＞0，u1＞u2，但{un}={一lnn}发散，排除A。故应选D。
方法二：由拉格朗日中值定理，有
un+1一un=f(n+1)一f(n)=f′(ξn)(n+1—n)=f′(ξn)，
其中n＜ξn＜n+1(n=1，2，…)。
由f"(x)＞0知，f′(x)单调增加，故
f′(ξ1)＜f′(ξ2)＜…＜f′(ξn)＜…，
所以
于是当u2一u1＞0时，有