问答题
设微分方程xf
”
(x)－f
’
(x)＝2x．
(I)求上述微分方程的通解；
(Ⅱ)求得的解在x＝0处是否连续?若不是，能否对每一个解补充定义，使其在x＝0处连续，并讨论补充定义后的f(x)在x＝0处的f
’
(0)及f
”
(0)的存在性，要求写出推理过程．
【正确答案】正确答案：(I)当x≠0时，原微分方程可改写为 f
”
(x)＝－
f
’
(x)＝2． 由通解公式，有
所以f(x)﹦∫2xln︱x︱dx±
x
2
﹢C
2
﹦∫ln︱x︱d(x
2
)±
x
2
﹢C
2
﹦x
2
ln︱x︱﹣∫
x
2
﹢C
2
﹦x
2
ln︱x︱﹣
x
2
﹢C
2
﹦x
2
ln︱x︱﹢
x
2
﹢C
2
，x≠0， 其中
与C
2
为任意常数． (Ⅱ)又因为
x
2
ln｜x｜＝0，对每一个解补充定义f(0)＝C
2
后，有
其中
f
’
(x)＝2． 由通解公式，有
所以f(x)﹦∫2xln︱x︱dx±
x
2
﹢C
2
﹦∫ln︱x︱d(x
2
)±
x
2
﹢C
2
﹦x
2
ln︱x︱﹣∫
x
2
﹢C
2
﹦x
2
ln︱x︱﹣
x
2
﹢C
2
﹦x
2
ln︱x︱﹢
x
2
﹢C
2
，x≠0， 其中
与C
2
为任意常数． (Ⅱ)又因为
x
2
ln｜x｜＝0，对每一个解补充定义f(0)＝C
2
后，有
其中
【答案解析】