问答题
设A，B，C均是n阶方阵，满足r(B)+r(C)=n，(A+E)C=0，B(A
T
-2E)=0．
证明：A～
，并求
证明：A～
，并求
【正确答案】
【答案解析】[证明] r(B)+r(C)=n．
若r(B)=n，则B可逆．由B(A T -2E)=0，两边左乘B -1 ，得A T =2E=A，故A～
=2E，且|A|=2
n
．
若r(C)=n，则C可逆，由(A+E)C=0，右乘C -1 ，得A+E=0，A=-E，即A～-E，|A|=(-1) n ．
若r(B)≠n，r(C)≠n，因r(B)+r(C)=n，设r(B)=r，则r(C)=n-r．
①由(A+E)C=0知，A有λ=-1，且至少有n-r个线性无关的特征向量(因r(C)=n-r，C中有n-r列线性无关，且是A的对应于λ=-1的特征向量)．故λ=-1至少是n-r重根．
②由B(A T -2E)=0，两边转置，得(A-2E)B T =0．知A有λ=2，且至少是r重根，B T 的r个线性无关列向量即是A的对应于λ=2的特征向量．
由①，②知，λ=-1是n-r重根，λ=2是r重根，从而可知A有n个线性无关特征向量，A～
．且
若r(B)=n，则B可逆．由B(A T -2E)=0，两边左乘B -1 ，得A T =2E=A，故A～
=2E，且|A|=2
n
．
若r(C)=n，则C可逆，由(A+E)C=0，右乘C -1 ，得A+E=0，A=-E，即A～-E，|A|=(-1) n ．
若r(B)≠n，r(C)≠n，因r(B)+r(C)=n，设r(B)=r，则r(C)=n-r．
①由(A+E)C=0知，A有λ=-1，且至少有n-r个线性无关的特征向量(因r(C)=n-r，C中有n-r列线性无关，且是A的对应于λ=-1的特征向量)．故λ=-1至少是n-r重根．
②由B(A T -2E)=0，两边转置，得(A-2E)B T =0．知A有λ=2，且至少是r重根，B T 的r个线性无关列向量即是A的对应于λ=2的特征向量．
由①，②知，λ=-1是n-r重根，λ=2是r重根，从而可知A有n个线性无关特征向量，A～
．且