【正确答案】令α^Tβ=k，则A²=kA，
设AX=λX，则A²X=λ²X=kλX，即λ(λ-k)X=0，
因为X≠0，所以矩阵A的特征值为λ=0或λ=k．
由λ₁+…+λ_n=tr(A)且tr(A)=k得λ₁=…=λ_n-1=0，λ_n=k．
因为r(A)=1，所以方程组(0E-A)X=0的基础解系含有n-1个线性无关的解向量，
即λ=0有n-1个线性无关的特征向量，故A可以对角化．