问答题
设f(x1，x2，x3)=xTAx，其中，x=(x1，x2，x3)T，
【正确答案】(Ⅰ)由于
[*]
所以f(x1，x2，x2)的矩阵[*]
由于B有特征值为λ=0，1，4，所以有
[*]即a=3，b=1.
(Ⅱ)由以上计算知[*]
设B对应λ=0的特征向量为α=(a1，a2，a3)，则α满足
[*] (1)
由于[*]
所以式(1)与方程组[*]同解，可取它的基础解系为α，即α=(1，0，-1)T．
设B对应λ=1的特征向量为β=(b1，b2，b3)T，则β满足
[*] (2)
由于[*]
所以式(2)与方程组[*]同解，可取它的基础解系为β，即β=(-1，1，-1)T．
设B对应λ=4的特征向量为γ=(c1，c2，c3)T，则γ与α，β都正交，于是有
[*]
可取它的基础解系为γ，即γ=(1，2，1)T．显然α，β，γ两两正交，现将它们单位化，
[*]
记Q=(ξ1，ξ2，ξ3)(正交矩阵)，则x=Qy，即[*]
使得[*](标准形)．
[*]
所以f(x1，x2，x2)的矩阵[*]
由于B有特征值为λ=0，1，4，所以有
[*]即a=3，b=1.
(Ⅱ)由以上计算知[*]
设B对应λ=0的特征向量为α=(a1，a2，a3)，则α满足
[*] (1)
由于[*]
所以式(1)与方程组[*]同解，可取它的基础解系为α，即α=(1，0，-1)T．
设B对应λ=1的特征向量为β=(b1，b2，b3)T，则β满足
[*] (2)
由于[*]
所以式(2)与方程组[*]同解，可取它的基础解系为β，即β=(-1，1，-1)T．
设B对应λ=4的特征向量为γ=(c1，c2，c3)T，则γ与α，β都正交，于是有
[*]
可取它的基础解系为γ，即γ=(1，2，1)T．显然α，β，γ两两正交，现将它们单位化，
[*]
记Q=(ξ1，ξ2，ξ3)(正交矩阵)，则x=Qy，即[*]
使得[*](标准形)．
【答案解析】题中的A不是实对称矩阵，所以要用正交变换将f(x1，x2，x3)=xTAx化为标准形，必须首先将f(x1，x2，x3)改写成xTBx(其中，B是实对称矩阵)．此外，要熟练掌握，用正交变换把二次型化成标准形的方法．