解答题
2.设X1，X2，…，Xn(n＞2)为来自总体N(0，σ2)的简单随机样本，其样本均值为
．记Yi＝Xi－
．记Yi＝Xi－
【正确答案】
(Ⅱ)Cov(Y1，Yn)＝Cov(X1－
一，Xn－
)＝Cov(X1，Xn)－Cov(X1，
)－Cov(
，Xn)＋D(
)
(Ⅲ)由题意，E[c(Y1＋Yn)2]＝σ2．
而E[c(Y1＋Yn)2]＝c[E(Y1)2＋E(Yn)2＋2E(Y1Yn)]
而E(Y1)＝E(X1－
)＝E(X1)－E(
)＝0－0－0，
∴E(Y1)2＝DY1＋E(Y1)2＝DY1＝
σ2．
同理E(Yn)2＝
σ2．
又E(Y1Yn)＝Cov(Y1，Yn)＋E(Y1)E(Yn)＝Coy(Y1，Yn)＝
σ2
故得σ2＝E[c(Y1＋Yn)2]＝
，
∴c＝
(Ⅱ)Cov(Y1，Yn)＝Cov(X1－
一，Xn－)＝Cov(X1，Xn)－Cov(X1，)－Cov(，Xn)＋D()(Ⅲ)由题意，E[c(Y1＋Yn)2]＝σ2．
而E[c(Y1＋Yn)2]＝c[E(Y1)2＋E(Yn)2＋2E(Y1Yn)]
而E(Y1)＝E(X1－
)＝E(X1)－E()＝0－0－0，∴E(Y1)2＝DY1＋E(Y1)2＝DY1＝
σ2．同理E(Yn)2＝
σ2．又E(Y1Yn)＝Cov(Y1，Yn)＋E(Y1)E(Yn)＝Coy(Y1，Yn)＝
σ2故得σ2＝E[c(Y1＋Yn)2]＝
，∴c＝
【答案解析】