解答题 12.设f(χ)在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，证明：至少存在一点ξ∈(0，π)，使得f′(ξ)＝－f(ξ)cotξ．
【正确答案】令φ(χ)＝f(χ)sinχ，φ(0)＝φ(π)＝0，
由罗尔定理，存在ξ∈(0，π)，使得φ′(ξ)＝0，
而φ′(χ)＝f′(χ)sinχ＋f(χ)cosχ，
于是f′(ξ)sinξ＋f(ξ)cosξ＝0，故f′(ξ)＝－f(ξ)cotξ．
【答案解析】